MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME

Movimiento Circular

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Todo lo que giraobedece a la misma ley

La rueda del minibús que baja a La Paz, la honda que gira en la mano del pastor, el molino de viento del altiplano y la Tierra misma bajo nuestros pies describen círculos. Aquí aprenderás a describirlos, medirlos y predecirlos.

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Prof. Edwin Quisbert Gutiérrez · Achacachi, La Paz — Bolivia

Historia: cómo aprendimos a entender el giro

El movimiento circular fue el primer movimiento que la humanidad midió con precisión, porque el cielo gira todas las noches sobre nuestras cabezas. En el altiplano, la observación del recorrido circular del sol y de las estrellas organizó el calendario agrícola mucho antes de que existiera una fórmula escrita.

Siglos antes de nuestra eraLa rueda y el cielo
Los pueblos andinos orientan construcciones y calendarios con el giro aparente del sol; en Mesopotamia la rueda convierte el giro en transporte y el círculo se divide en 360 partes.

Siglo IV a.C. — AristótelesEl círculo como movimiento perfecto
Sostiene que los astros se mueven en círculos porque es la figura "perfecta", una idea que domina el pensamiento durante casi dos mil años.

1543 — CopérnicoLa Tierra también gira
Propone que la Tierra rota sobre su eje y describe una órbita alrededor del Sol; el giro deja de ser solo del cielo y pasa a ser nuestro.

1609–1619 — KeplerÓrbitas reales
Demuestra que las órbitas son elipses y que la velocidad cambia, pero el círculo sigue siendo el modelo base para estudiarlas.

1659 — Christiaan HuygensNace la fuerza centrípeta
Deduce que un cuerpo en círculo necesita una aceleración dirigida al centro y obtiene la expresión a_c = v²/R, la ecuación que usarás toda esta unidad.

1687 — Isaac NewtonLa honda y la Luna
En los Principia explica que la Luna "cae" continuamente hacia la Tierra igual que una piedra en una honda: una sola ley une el giro terrestre y el celeste.

1835 — Gustave CoriolisGirar cambia lo que vemos
Describe el efecto que aparece al medir movimientos dentro de un sistema que rota, clave hoy para meteorología y navegación.

Teoría: las ideas antes que los números

Un cuerpo tiene movimiento circular cuando su trayectoria es una circunferencia de radio R. Si recorre arcos iguales en tiempos iguales, el movimiento es circular uniforme (MCU). Si la rapidez cambia, es circular uniformemente variado (MCUV).

1. Desplazamiento angular (θ)

Es el ángulo barrido por el radio. Se mide en radianes: una vuelta completa equivale a 2π rad = 360°. El radián es un ángulo "natural" porque relaciona directamente el arco con el radio.

θ = s / Rs = longitud del arco recorrido (m), R = radio (m)

Conversión rápida: 1 vuelta = 2π rad ≈ 6,2832 rad. 180° = π rad.

2. Periodo (T) y frecuencia (f)

El periodo es el tiempo que tarda una vuelta completa. La frecuencia es cuántas vueltas se dan por segundo; se mide en hertz (Hz) o en revoluciones por minuto (rpm). Son magnitudes inversas.

T = 1/f   |   f = n/tn = número de vueltas, t = tiempo (s). 1 Hz = 60 rpm

3. Velocidad angular (ω)

Mide qué tan rápido gira el radio, sin importar el tamaño del círculo. Todos los puntos de un cuerpo rígido que gira tienen la misma velocidad angular.

ω = θ / t = 2π/T = 2πfUnidad: rad/s

4. Velocidad tangencial (v)

Es la rapidez real del punto sobre la trayectoria, y su dirección es tangente a la circunferencia. Depende del radio: el borde de una rueda se mueve más rápido que un punto cercano al eje.

v = ω·R = 2πR/TUnidad: m/s. Si se corta la cuerda, el cuerpo sale en esta dirección.

5. Aceleración centrípeta (a_c)

Aunque la rapidez sea constante, la dirección de la velocidad cambia a cada instante: eso ya es aceleración. Siempre apunta hacia el centro del círculo.

a_c = v²/R = ω²·RUnidad: m/s²

6. Fuerza centrípeta (F_c)

No es una fuerza nueva: es el nombre del papel que cumple alguna fuerza real (la tensión de la cuerda, el rozamiento del neumático, la gravedad, la normal). Sin ella, no hay giro.

F_c = m·a_c = m·v²/R = m·ω²·RUnidad: newton (N)

Cuidado con un error muy común

La "fuerza centrífuga" que sientes cuando el minibús toma una curva no empuja hacia afuera desde el exterior: es tu propia inercia, que tiende a seguir en línea recta mientras el vehículo gira. La única fuerza real hacia adentro es la del rozamiento entre las llantas y el asfalto. Por eso, si el camino está mojado o con arenilla, el auto se sale de la curva por la tangente.

7. Movimiento circular uniformemente variado (MCUV)

Cuando el cuerpo acelera o frena su giro aparece la aceleración angular α (rad/s²) y, junto a la centrípeta, una aceleración tangencial a_t = α·R que sí cambia la rapidez.

ω_f = ω₀ + α·t

θ = ω₀·t + ½α·t²

ω_f² = ω₀² + 2α·θ

Fíjate en el parecido con el MRUV: cambian los símbolos, no la estructura. La aceleración total es la suma vectorial de a_t y a_c: a = √(a_t² + a_c²).

Formulario de bolsillo

Todo lo que necesitas para resolver cualquier problema de esta unidad. Consejo: identifica primero qué dato te dan (vueltas, tiempo, rpm, radio) y recién elige la fórmula.

Angulares

θ = s/R

ω = 2π/T = 2πf

α = Δω/Δt

Lineales

v = ωR

a_c = v²/R = ω²R

a_t = αR

Dinámica y conversiones

F_c = mv²/R

1 rpm = 2π/60 rad/s

1 m/s = 3,6 km/h

Ejercicios resueltos paso a paso

Cada problema ocurre en nuestra ciudad. Lee el enunciado, intenta resolverlo en tu cuaderno y recién compara con el desarrollo.

Ejercicio 1 · La bicicleta en la avenida

Un estudiante pedalea por la avenida principal de Achacachi. La rueda de su bicicleta tiene 35 cm de radio y da 120 vueltas por minuto. Calcula el periodo, la frecuencia, la velocidad angular, la velocidad de la bicicleta y la distancia recorrida en 5 minutos.

1. Datos: R = 35 cm = 0,35 m; n = 120 vueltas; t = 1 min = 60 s.
2. Frecuencia: f = n/t = 120/60 = 2 Hz (dos vueltas cada segundo).
3. Periodo: T = 1/f = 1/2 = 0,5 s por vuelta.
4. Velocidad angular: ω = 2πf = 2π(2) = 4π ≈ 12,57 rad/s.
5. Velocidad tangencial: v = ωR = 12,57 × 0,35 ≈ 4,40 m/s ≈ 15,8 km/h.
6. Distancia en 5 min (300 s): d = v·t = 4,40 × 300 ≈ 1 320 m ≈ 1,32 km.
7. T = 0,5 s · f = 2 Hz · ω ≈ 12,57 rad/s · v ≈ 4,4 m/s · d ≈ 1,32 km

Ejercicio 2 · La honda (q'orawa) del pastor

Un pastor de la comunidad hace girar su honda en un plano horizontal con una piedra de 250 g atada a una cuerda de 0,80 m. La piedra completa 3 vueltas cada segundo. Calcula la velocidad de la piedra, su aceleración centrípeta y la tensión de la cuerda.

1. Datos: m = 250 g = 0,25 kg; R = 0,80 m; f = 3 Hz.
2. Velocidad angular: ω = 2πf = 2π(3) = 6π ≈ 18,85 rad/s.
3. Velocidad tangencial: v = ωR = 18,85 × 0,80 ≈ 15,08 m/s (≈ 54 km/h).
4. Aceleración centrípeta: a_c = v²/R = (15,08)²/0,80 ≈ 284,3 m/s², casi 29 veces la gravedad.
5. Tensión (fuerza centrípeta): F_c = m·a_c = 0,25 × 284,3 ≈ 71,1 N.
6. Interpretación: si la cuerda se corta, la piedra no sale hacia afuera: sale por la tangente, en la dirección de v.
7. v ≈ 15,1 m/s · a_c ≈ 284,3 m/s² · T ≈ 71,1 N

Ejercicio 3 · Minibús rumbo a La Paz

Un minibús viaja de Achacachi a La Paz a 72 km/h con llantas de 0,31 m de radio. Halla la velocidad angular de la llanta, su frecuencia en rpm y cuántas vueltas da en los 92 km de viaje.

1. Convertimos la rapidez: v = 72 km/h ÷ 3,6 = 20 m/s.
2. Velocidad angular: ω = v/R = 20/0,31 ≈ 64,52 rad/s.
3. Frecuencia: f = ω/2π = 64,52/6,2832 ≈ 10,27 Hz → en rpm: 10,27 × 60 ≈ 616 rpm.
4. Perímetro de la llanta: P = 2πR = 2π(0,31) ≈ 1,948 m por vuelta.
5. Vueltas en 92 km: n = d/P = 92 000/1,948 ≈ 47 230 vueltas.
6. ω ≈ 64,5 rad/s · f ≈ 616 rpm · n ≈ 47 230 vueltas

Ejercicio 4 · La curva del camino a Huarina

Un automóvil de 1 200 kg toma una curva plana de 50 m de radio a 54 km/h. Si el coeficiente de rozamiento entre las llantas y el asfalto es 0,55, ¿logra tomar la curva sin derrapar? (g = 9,8 m/s²)

1. Datos: m = 1 200 kg; R = 50 m; v = 54 km/h ÷ 3,6 = 15 m/s; μ = 0,55.
2. Fuerza centrípeta necesaria: F_c = mv²/R = 1 200 × 225/50 = 5 400 N.
3. Fuerza de rozamiento disponible: F_r = μmg = 0,55 × 1 200 × 9,8 = 6 468 N.
4. Comparamos: 6 468 N > 5 400 N, así que el rozamiento alcanza y el auto toma la curva sin derrapar.
5. Velocidad máxima segura: v_máx = √(μgR) = √(0,55 × 9,8 × 50) = √269,5 ≈ 16,4 m/s ≈ 59 km/h.
6. No derrapa · velocidad límite ≈ 59 km/h (y con pista mojada baja muchísimo)

Ejercicio 5 · MCUV: el molino de viento del altiplano

Las aspas de un molino de 2,4 m de radio giran a 45 rpm. Al calmarse el viento se detienen uniformemente en 12 s. Calcula la aceleración angular, cuántas vueltas dio hasta detenerse y la aceleración tangencial en la punta del aspa.

1. Velocidad angular inicial: ω₀ = 45 rpm × 2π/60 = 4,712 rad/s. Final: ω_f = 0.
2. Aceleración angular: α = (ω_f − ω₀)/t = (0 − 4,712)/12 ≈ −0,393 rad/s² (el signo indica frenado).
3. Ángulo barrido: θ = (ω₀ + ω_f)/2 × t = (4,712/2) × 12 ≈ 28,27 rad.
4. Vueltas: n = θ/2π = 28,27/6,2832 ≈ 4,5 vueltas.
5. Aceleración tangencial en la punta: a_t = αR = 0,393 × 2,4 ≈ 0,94 m/s².
6. α ≈ −0,393 rad/s² · θ ≈ 28,3 rad ≈ 4,5 vueltas · a_t ≈ 0,94 m/s²

Ejercicio 6 · Poleas del molino de granos

En un molino de quinua, una polea motriz de 8 cm de radio gira a 900 rpm y mueve, mediante una correa, otra polea de 24 cm de radio. Halla la velocidad de la correa y las rpm de la polea grande.

1. Idea clave: unidas por una correa, ambas poleas tienen la misma velocidad tangencial v, pero distinta ω.
2. ω de la polea motriz: ω₁ = 900 × 2π/60 = 30π ≈ 94,25 rad/s.
3. Velocidad de la correa: v = ω₁R₁ = 94,25 × 0,08 ≈ 7,54 m/s.
4. ω de la polea grande: ω₂ = v/R₂ = 7,54/0,24 ≈ 31,42 rad/s.
5. En rpm: f₂ = 31,42 × 60/2π ≈ 300 rpm. El radio se triplicó y las rpm se redujeron a la tercera parte.
6. v ≈ 7,54 m/s · ω₂ ≈ 31,4 rad/s · 300 rpm

El movimiento circular en nuestra vida cotidiana

No hace falta un laboratorio: en un día normal en Achacachi cruzas decenas de movimientos circulares. Reconocerlos es el primer paso para entender la física como algo tuyo.

Transporte

Llantas de minibuses y bicicletas, el volante, el eje de transmisión y el peralte de las curvas en la ruta al lago. La seguridad vial es, literalmente, un problema de fuerza centrípeta.

Trabajo y campo

La honda del pastor, el molino de granos, la centrifugadora que separa el suero al hacer queso, el torno del alfarero y la rueda hidráulica de un canal de riego.

En casa

El tambor de la lavadora en el centrifugado, las aspas de la licuadora, el ventilador, las manecillas del reloj y los engranajes de un taladro.

Comunicación

Las antenas parabólicas y los satélites en órbita que llevan la señal de radio y de internet hasta el altiplano se mantienen "cayendo" en círculo gracias a la gravedad.

Fiesta y juego

Los carruseles de las ferias, el giro de las danzas en las entradas folklóricas, el trompo, la rueda de la bicicleta en la carrera comunal.

El cielo del altiplano

La rotación de la Tierra que produce el día y la noche, el giro aparente de las estrellas sobre el Titicaca y la órbita de la Luna, que marca el calendario agrícola.

Laboratorio virtual

Mueve los controles y observa qué cambia. La física se entiende cuando puedes predecir el resultado antes de mover el deslizador.

Experimento 1 · Disco giratorio: ω igual, v diferente

Dos marcas pintadas sobre el mismo disco: una en el borde y otra a mitad de radio. Giran juntas, pero no se mueven igual de rápido. Corta la cuerda y comprueba por dónde sale la piedra.

Radio del disco: 1.00 m Velocidad angular ω: 4.0 rad/s Masa del cuerpo en el borde: 0.50 kg Mostrar vectores v y a_c Dejar rastro de la trayectoria

Periodo T–

Frecuencia f–

v borde–

v a R/2–

a_c–

F_c–

Vueltas0

Tiempo0.0 s

Experimento 2 · La curva rumbo a Huarina

¿A qué velocidad se sale de la curva un vehículo? Cambia el radio, la rapidez y el estado del camino, y compara la fuerza necesaria con la que el rozamiento puede dar.

Rapidez del vehículo: 54 km/h Radio de la curva: 50 m Masa del vehículo: 1200 kg Estado del camino Asfalto seco (μ = 0,85) Asfalto usado (μ = 0,55) Camino de tierra (μ = 0,35) Asfalto mojado (μ = 0,25) Con hielo o granizo (μ = 0,12)

F_c necesaria–

F roce máxima–

a_c–

v máxima segura–

–

Experimento 3 · MCUV: arrancar y frenar el molino

Aquí la rapidez del giro cambia. Observa cómo la aceleración angular α modifica ω y cuántas vueltas se acumulan.

ω inicial: 0.0 rad/s Aceleración angular α: 1.0 rad/s² Radio del aspa: 2.4 m

t0.0 s

ω actual–

θ total–

Vueltas0

a_t–

a_c–

Calculadora de movimiento circular

Escribe los datos que conoces y deja en blanco los demás. Necesitas el radio y al menos uno de estos: periodo, frecuencia, rpm, velocidad angular o velocidad tangencial.

Radio R (m) Masa m (kg) — opcional, para la fuerza Periodo T (s) Frecuencia f (Hz) Revoluciones por minuto (rpm) Velocidad angular ω (rad/s) Velocidad tangencial v (m/s)

Falta información: ingresa el radio y un dato de giro (T, f, rpm, ω o v).

Periodo T–

Frecuencia f–

rpm–

ω–

v tangencial–

a_c–

F_c–

Perímetro–

Desarrollo

Los pasos del cálculo aparecerán aquí.

Examen aleatorio: teoría y práctica

Doce preguntas elegidas al azar (seis de teoría y seis problemas con números distintos cada vez). Necesitas 70 % o más para obtener tu certificado. Puedes repetirlo cuantas veces quieras: nunca saldrá igual.

Nombre y apellidos del estudiante Curso o paralelo

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Prof. Edwin Quisbert Gutiérrez · Física · Achacachi, Provincia Omasuyos — La Paz, Bolivia

Material educativo interactivo de Movimiento Circular. Uso libre para fines pedagógicos.